“忽略高阶无穷小”的疑问

旧时光

      在力学公式的推导中,常常见到“忽略高阶无穷小”、“略去高阶微量”等等这样的说法，每次见到这样的说法，我总是疑惑重重。请问这样处理高阶无穷小量，到底是为了简化公式推导所作的近似，还是有严格的理论依据？

crazypeanut

忽略高阶无穷小是非常严格的概念，这是教科书的问题，楞是没有把一个简单而又重要的概念讲明白，我来给你讲清楚

首先来看一个极限



学过微积分的都知道这个基本极限，我们改一种办法来求这个极限，将sin(x)展开成泰勒级数



容易知道这个级数在整个实数轴上是收敛的，将他除以x，可得



可以看出，在x趋于0之后，除了第一项，后面的任意多项都趋向了0，可以扔掉，最后剩下1，就是极限值

所以，所谓的忽略高阶无穷小，就变量在趋向某个值的时候，最终趋向于0的项，我们把他忽略掉；也就是说一个系统在某个趋势中，对系统没有任何贡献的项，我们把他扔掉，就叫做忽略高阶无穷小

huiyu788

微积分的理论

yinalan

打个比方今天对美元汇率是6.4733，理论上拿100米换人民币是647.33，但银行忽略了高阶微量0.03给你了647.3，目前币值最小是0.1元吧，那0.03相对于0.1是高阶微量，但是你如果较真理论严格意义上应该给那0.03，好，那银行多给你0.1元，理论上严格意义上你找给他0.07，你怎么办。所以大家都应该忽略此时的微量。精度，工程精度，物理精度，数学精度（引自8爷），模型最后也要算数，如果精度要求没那么高或者忽略影响不大就可以忽略啊，还有这个高阶是相对意义的------------------------个人见解

dhf654

简化公式的近似，且结果的精度符合要求

engine

略去高阶无穷小还算比较精确，还有些公式是略去小两个数量级以上的量得到的，如果不注意使用条件就会得出错误结论，比如某些计算薄壁筒的要求壁厚小于直径1/10，厚了就不准。

旧时光

yinalan 发表于 2018-1-12 16:14
打个比方今天对美元汇率是6.4733，理论上拿100米换人民币是647.33，但银行忽略了高阶微量0.03给你了647.3， ...

看《弹性力学》中“切应力互等定理”的推导，也忽略了高阶微量，难道说这个定理只是一个近似？