向量，基，坐标空间，坐标变换

波塞冬的信徒

算是线性代数的一个应用，先列个提纲，后面充实内容。


1.线性空间内，任意向量用基表示，规范正交基最好，非正交的系，这个没读到东西，能想到施密特正交化。

2.坐标变换，广义理解，从一个线性空间转换到另一个线性空间，就是基基互换；说的再方便操作一点，当前基投影至参考基，加规范条件后，单位向量，凑一下，就是计算夹角余弦，就能随手写了。

3.变换实例，就是平移，旋转，齐次，等效。

4.矩阵列乘向量，基的线性组合。

qshnttd

向量（3,4）其实就是（3,4）点乘（r1,r2),R1,R2就是基，原坐标的R1=(1,0),R2=(0,1)。坐标系改变，基也改变

熊霸天下

感觉张量的曲线坐标变换，就是线性代数坐标变换的扩展。

波塞冬的信徒

暂讨论三维，线性空间内，任意向量可以用基表示。

对于笛卡尔坐标系，最简单的正交基，x, y, z, 三个主轴的方向向量，规范化，就取单位方向向量，线性代数后面章节喜欢用列向量。

终点坐标减去起点坐标，就是向量坐标形式。依次拆开，用选好的正交基做基础，x, y, z三个数字做组合系数，很容易写出任意一个向量。

波塞冬的信徒

坐标变换，先看二维坐标系，假设Z轴垂直纸面向外，绕z轴逆时针旋转θ角。

在旋转前，一个坐标空间，假设沿主轴方向确定基，那么它有自己的一组规范正交基；旋转后，另外一个坐标空间，假设也是沿主轴方向确定基，那么它也有自己的一组规范正交基。

这就提出一个问题：在新（旧）坐标系内的一个向量或者点坐标，在旧（新）坐标系下的坐标值是多少。

首先，这问题有个什么意思，为什么要去研究它，吃饱了撑的吗？举一个例子，小滑块沿斜面运动的模型，外力沿水平方向，要沿斜面平行方向和垂直斜面方向分解。
水平方向算旧坐标系，斜面平行方向和斜面垂直方向组成的坐标系算新系。

于是，坐标转换的过程，就是当前坐标系向目标坐标系的投影过程。

再把向量或者矢量拆开看，有数值，有方向，那么解决了方向的问题后，作为标量的数值，只要代入，数乘就可以了。

所以，最简单的，就是考虑单位向量，既然要考虑单位向量，那么最方便的莫过于直接考虑坐标系的基，反正它可以表示坐标系内其他所有向量。

回到物块斜面模型，水平的基往斜面的基方向投影，=x*cosθ，式中x=1。
既然作为基，都是单位向量，那也甭投了，乘来乘去，模值都是1，再者θ角也不是什么神秘东西，就是俩基的夹角，就是旋转角，索性直接按夹角余弦算得了，不烧那脑筋。

于是，表示了x，也得有y，这一写，线性代数一整理，旋转矩阵就出来了。