转贴:数学家张益唐攻克 Landau-Siegel 零点猜想相关论文发布...

回火马氏体 · 发表于 2022-11-10 16:55:01

这是张益唐亲自写的文章，转贴过来(原文：https://www.zhihu.com/question/564799818/answer/2752632822)：

谢谢知乎的邀请。先简单回答几个答主的问题。

关于论文里很多参数都是取

的固定幂次，是不是为了凑2022这个数的问题，从Landau-Siegel零点本身来讲应该是

的一个幂次，而他们猜想的实际上应该是负一次方，我这个方法应该能得到负几百，这个数倒不是故意凑的，但是到底几百的多少，我也没有仔细算，我能够保证的是2022正好差不多到这儿就可以了，正好今年是2022，我顺便定在这儿。经常有人干这种事情，所以这也没有什么特别含义，就像之前的7000万也是。

定理1的2022变小肯定是可以的，但是L函数导数在s=1附近的阶，目前只有平凡估计。比如说

，这个二次方目前没有办法改进，只能用这个平凡的界。不过这个对我们整个论证过程来讲，影响不是太大。

有人问到我论文中引用1975年Goldfeld用复变积分法得到的结果：如果Landau-Siegel猜想成立则可以推出

，即负一次方的下界。但如果用这个下界反推，只能给出

负三次方的非零区域。

是这样，一个方向能够到负一次方，另一个方向如果直接这么弄的话显得有些别扭。目前来看确实是这种情况，两边显得好像不太对称。如果就零点和

下界之间的关系做一个更新颖的探索，这是完全有可能的，这方面完全可以有一些新的东西。

关于我的论文里证明了一系列的L函数在一个离实轴较远的区域

里的零点都落在临界线（即实部为1/2的竖线）上。在知乎上，有人问到这部分的方法有没有可能被用来研究L函数在

区域之外的零点分布。

他可能觉得我这部分写得比较乱。我的

是 的519次方。严格讲如果和D相比的话，它不算大。但是我要取成这样，比

大一点，比实轴高出一截。因为一到实轴上我用的L函数渐近公式就会显得很乱，因为Gamma因子包含在函数方程中，当然s在实轴上还可能会出现奇点等麻烦，所以我通过这种办法将问题避开了。

我做的大部分都是技术性的。为什么非要这么取？换一种方法取可不可以？也是完全可能的。但是你做的时候就知道只能取一个，而且希望能取一个相对简单、清楚的，至于目前的取法是否是最简单、最清楚的我也不敢说。

还有一个关于等差数列的问题，提到 Bombieri-Vinogradov定理的证明，D较小的时候是用Siegel-Walfisz定理处理，而D较大时用大筛法不等式做。知乎上还有人问如果把我的新误差代入进去，会不会把Bombieri-Vinogradov中的1/2幂次改良？

直接来讲不能改良1/2，但能把误差上界改进。Bombieri-Vinogradov定理中的误差上界是

的形式。你们仔细看证明过程，其实关键的部分就是对D较小时的处理。那部分的误差项只能一个一个做、一个一个去估计。这里最大的一个障碍还是Siegel零点的问题，这导致大O上界中的常数是不能被有效计算出来的。而现在，我这个东西把这两个突破了。第一，定理里头D的范围不再是 的形式了，这个范围应该是可以算出来的。第二，误差上界中的常数可以被有效计算出来了。在Bombieri-Vinogradov定理的证明里，尽管有各种各样的证明，它最后都是归结到原特征的时候，对D较大的情况，用大筛法不等式去做，出来的实际上

形式的项。反而在D比较小时，Siegel零点的存在性就会让误差项差这么一点。肯定谁也不喜欢用Siegel-Walfisz的方法去处理，但是没有办法。

很多人对我的经历很感兴趣，觉得我花了这么多年研究非常困难的数学问题，有没有想过放弃，是怎么坚持下来的。我也想借此机会和大家聊聊。

关于Landau-Siegel猜想，我没有想过放弃，因为这些年我的整个思考也是断断续续的。2007年我发过一篇关于Landau-Siegel的论文，其实当时是有可能继续做下去的，但是后来遇到了一个情况，就是孪生素数的问题一下变得热门了，所以2010年到2013年去做孪生素数去了，就做出来一个7000万的结果。后来想想，觉得Landau-Siegel还得做，所以就又回到这个问题上。我一般是几个问题同时在想，一段时间注重这个，一段时间注重那个，Landau-Siegel实际上上世纪末我就开始想了，我喜欢几个问题一起想，有一个问题初步想出来了，其他那些就接着想，都是比较大的问题。

前几天论文公开后，我给北大做了一场远程讲座。我在北大读研时的导师潘承彪评价：今天听了益唐讲的想法很清楚，这是一个重要的筛法新思想，有很大发展潜力，可实现起来很难。

回火马氏体 · 发表于 2022-11-10 16:56:14

我当即回复：听了潘老师的肯定，比听一万个人的赞扬更有价值。

今天，我又和知乎上一个关注我论文的小伙子交流，了解到他在伦敦读大一，学数学。我觉得他是非常不容易的，因为他大一已经能够学到我在研究生时候学的课程，说明他进步很快，付出了很多，确实是非常聪明的一个小伙子。希望像他一样的年轻人能发挥自己的想象力，不要把前人的东西看成至高无上的。这个东西别人这么做的我能不能换一种做法，或者我能不能突破它？不断自我提问，不断自我尝试，走出新的路子来，你们这些年轻人的前程是非常远大的。

关于我的未来，这些数学问题我是不会丢掉的。我觉得我大概这一辈子就是做数学的命了，我不做数学都不知道干什么。别人谈过有没有退休的问题，我说如果我真的离开数学了，我确实不知道我该怎么活。

平时在家里，我夫人总是觉得我一个人不太说话，吃完饭自己在房间里一待，耳机一挂自己听音乐，玩自己的。她怕我这样慢慢会神经，还开玩笑说，我老了要是神经了，她可受罪了，还得给我推轮椅。所以她每天把菜切好让我回家以后学炒菜，不管炒成什么样也要炒。周末有时候也找几个做数学的同事来家里坐坐，喝酒聊天，但他们说我聊着聊着眼光不对，就走神了。夫人经常批评我这样不礼貌，说我这样将来就没有朋友了。

我夫人觉得我浪漫的时候不多，就连去维也纳听音乐会都要跑到维也纳大学，去找哥德尔的雕像，找了半天也没找到，直到碰到一个刚下班的教授，告诉我们这里没有哥德尔的雕像才走。但是我很感谢她带我来听音乐会，因为我喜欢听交响乐，著名的古典音乐大师我都喜欢，首先是贝多芬，特别爱听他的第六交响曲。

作者：张益唐
链接：https://www.zhihu.com/question/564799818/answer/2752632822
来源：知乎
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另外我有点特别的是还喜欢勃拉姆斯，其他的像柴可夫斯基，还有肖邦的钢琴曲我也特别喜欢，尤其是他的作品53号，降A大调波罗乃兹。

其实我年轻的时候也喜欢那时候的校园歌曲，苏小明就是我那时候的“偶像”。我同学说我当年在北大宿舍里，谁提苏小明不好还跟人翻脸。前一段我和夫人去普林斯顿的时候，住在北大校友吴刚的家里，他家有卡拉OK，我们还放苏小明的歌在那儿唱，虽然可能跑调了，因为他们都笑我。

我也很喜欢中国的古典诗词，其中最欣赏杜甫的诗，比如”剑外忽传收蓟北，初闻涕泪满衣裳”。还有“却看妻子愁何在，漫卷诗书喜欲狂。白日放歌须纵酒，青春作伴好还乡。”杜甫有他自己的奔放，“即从巴峡穿巫峡，便下襄阳向洛阳。”百读不厌，怎么品这个味道都觉得特别好。杜甫的诗太多了，“风急天高猿啸哀，渚清沙白鸟飞回。无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来。”还有下面两句我也特别喜欢，“万里悲秋常作客，百年多病独登台。”对仗对得非常好，而且很自然，流传了一千多年，让后人一个字一个字地去品它的味道。

几年前，有位导演找到我说，想把我的故事拍成电影，就像纳什的《A Beautiful Mind》。我是不希望拍，毕竟网络已经把我说得够多了，我希望最好不要再给我干扰。纳什是一个伟大的数学家，他在数学等好几个领域里都有独特的贡献，这部电影拍得非常好。中文翻译成“美丽心灵”，我遇到很多年轻的中国留学生，他们都看过。

我现在也会帮我的小孙女讲讲数学。她上二年级的时候就特别喜欢数学，还报了一个电脑编程班。那个班里都是高中生，她是最小的，那时候连乘法都不会，后来我帮她补了补。现在9岁了，也一直跟着上到四年级了，学校给她选到数学天才班里了。她很有天赋，说爷爷我要完成你的心愿，替你得菲尔茨奖。其实对这个奖我也没什么遗憾，我没有把这些东西看得太重。

九年前，我第一次访问普林斯顿，有人问我有哪一句诗能概括你当时的心情。我引用了杜甫五首咏怀古迹里的第一首的最后两句：“庾信平生最萧瑟，暮年诗赋动江关”。

今天还是这句。

hanbyte · 发表于 2022-11-11 09:58:39

他确实是个真诚的人

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