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求教 两个基本证明题

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发表于 2017-9-1 00:43:35 | 显示全部楼层 |阅读模式
1.设a,b属于R,证明存在任何正数ε有a<b+ε,则a≦b.
这个定理应该是说明实数集的有序性的,请前辈们讲一下证明过程(反证法没明白为啥那么证明)
2.数列的保不等式性质中有an≦bn则lim an ≦  lim bn (n趋近于无穷),若换成严格不等式后,为啥结论不能是lim an < lim bn
这两个定理是怎么凑合到一块的

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发表于 2017-9-1 08:07:00 | 显示全部楼层
第二个an=1/n,bn=2/n,an<bn,但是极限相同

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反例知道,要严格证明  发表于 2017-9-1 08:42
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发表于 2017-9-1 09:53:33 | 显示全部楼层
第二个,假设liman=a,limbn=b,已知an≦bn,求证a≤b.
假设a>b,取a,b之间的一个数c,让a>c>b。根据极限定义,,可以求得序号N1,当n>N1时,an>c成立;另又可以求出N2,当n>N2时,bn<c;那取N为同时大于N1,N2的值,当n>N,时,将同时有an>c,bn<c,得出an>bn.与假设相反,故a≤b.
这个可不可以

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实数域的序即大于等于小于是由分划的概念确定的,第一个命题用反证法就是取那个ε有技巧性,没想出这个命题证出来用来干什么  发表于 2017-9-1 10:12
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发表于 2017-9-1 11:22:01 | 显示全部楼层
定理1和定理2都用反证法,证明的依据都是实数的稠密性
定理1的证明:假设a>b,即a-b>0,则存在δ>0,使得a-b>δ>0;
进一步地,存在ε>0,使得a-b-δ-ε>0,即a>b+δ+ε>b+ε,这与已知矛盾



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定理2可以建立以两点极限为中心的空心邻域,当半径足够小,n又足够大时,an和bn将有无穷多点落入两个不同的空心邻域内,从而与前提条件相矛盾  发表于 2017-9-1 11:27
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