求教 两个基本证明题

lfdc

1.设a，b属于R，证明存在任何正数ε有a<b+ε,则a≦b.
这个定理应该是说明实数集的有序性的，请前辈们讲一下证明过程（反证法没明白为啥那么证明）
2.数列的保不等式性质中有an≦bn则lim an ≦  lim bn （n趋近于无穷），若换成严格不等式后，为啥结论不能是lim an < lim bn
这两个定理是怎么凑合到一块的

吾曰叁省

第二个an=1/n,bn=2/n,an<bn,但是极限相同

yinalan

第二个，假设liman=a,limbn=b,已知an≦bn，求证a≤b.
假设a>b,取a,b之间的一个数c,让a>c>b。根据极限定义，，可以求得序号N1，当n>N1时，an>c成立；另又可以求出N2，当n>N2时，bn<c;那取N为同时大于N1，N2的值，当n>N,时，将同时有an>c,bn<c,得出an>bn.与假设相反，故a≤b.
这个可不可以

数学有啥用

定理1和定理2都用反证法，证明的依据都是实数的稠密性
定理1的证明：假设a＞b,即a－b＞0,则存在δ＞0,使得a－b＞δ＞0;
进一步地，存在ε＞0,使得a－b－δ－ε＞0,即a＞b+δ+ε＞b+ε,这与已知矛盾