对角矩阵

373527271

在上学的时候学线代，最后归结到处理对角矩阵的，对角化，特征值，特征向量，正定问题，当时不理解为什么重点研究这个矩阵。

看了很多书，工程中离散化分析，转化为代数问题，转化为矩阵问题，最后都是对角矩阵。
例如：
有限元分析中，刚度矩阵是对角矩阵；模态分析中，横振问题，质量矩阵是对角矩阵
，扭振问题，转动惯量矩阵是对角矩阵。
结构力学中，力法和位移法，位移和力矩阵是对角矩阵。
电气问题中，线性问题分析，电导矩阵也是对角矩阵。
是不是从数学角度讲，微分方程组使用矩阵分析后，标准化以后，系数矩阵都是对角矩阵。

crazypeanut

矩阵就是一种计算工具而已，很多物理量用矩阵表示后，计算就显得特别清晰明确

至于为什么研究对角矩阵，因为对角矩阵的计算特别方便，比如对角矩阵的乘法，求逆，时间复杂度都是O(n)，非对角矩阵用一般乘法时间复杂度是O(n^3)，用Strassen算法计算乘法的时间复杂度是O(n^2.81)，求逆复杂度等同于乘法


对角矩阵最初步的应用在解析几何里面，一个二次曲线的一般方程，把他的二次项系数矩阵正交对角化，得到的对角矩阵就是这个二次曲线的标准形式，过渡矩阵就是其坐标变换的公式

迷茫的维修

高人

Old_Dog

对角矩阵做一般运算的结果仍然为对角矩阵，典型运算是做矩阵的次幂，将矩阵对角化之后，可以大幅降低计算量。由N个矩阵相乘，变为3个矩阵相乘。对角化的过程（如果可以对角化的情况下），也充分反映了矩阵的特性，和解空间，特征值的情况。

373527271

crazypeanut 发表于 2019-5-17 12:05
矩阵就是一种计算工具而已，很多物理量用矩阵表示后，计算就显得特别清晰明确

至于为什么研究对角矩阵，因 ...

刚才百度一下在知道o(n)的意思。感觉时间万物最终都归结为数学问题。
我比较好奇的是，物理中各种问题，代数分析后变成，系数矩阵基本都是对角矩阵，还没有以外的。
是不是可以用数学上某个定理或者公理去解释。
物理中总的来意义讲，[M]x[X] X是列向量，待求。
[M]中主对角中的每一项对应的是X1,X2,X3,X4....的固有属性，而非主对角每一项代表Xn之间的相关关联。
对角化，就是消去关联，体现Xn的本质特征。
感觉学完数学系研究生再去加强几年学物理和化学知识，三十出头大概率能成为某个公司的首席科学家。

crazypeanut

373527271 发表于 2019-5-17 13:04
刚才百度一下在知道o(n)的意思。感觉时间万物最终都归结为数学问题。
我比较好奇的是，物理中各种问题， ...

并不是所有矩阵都可以对角化，这个时候就要退而求其次，把矩阵化为jordan标准型

建议看《高等代数》

小弹壳

应用数学基础。研究生用书，矩阵那块讲的虽然不多，但是应该够用了。