数学问题求助。

旧时光

       最近学习菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》，在刚开篇的绪论中把有理数域扩充到实数域，以有理数作为构造整个实数系统的起点。首先列举了有理数的一些性质，然后用定义分划的方式引入无理数，再定义无理数的“顺序（即相等、大于和小于）”，接下来证明实数的稠密性，有如下的一个定理：

请问：划红线的那句话是怎么推导出来的？哪位大侠能帮忙解释一下，感激不尽！

crazypeanut

毛子的数学书就是这样，写的很隐晦，他的证明思路我至今也没搞明白

我换种思路来证明两个不相等的实数之间必定存在有理数

设a＜b，将a和b都写成10进制无穷小数的形式，对于a，取其小于b的过剩近似值x，对于b，取其大于a的不足近似值y，易知x和y都是有理数，取u=(x+y)/2，可知u也是有理数，此时就有a＜u＜b。

这套书不建议入门，入门还是托马斯微积分(或者绿皮高数)，陈纪修的蓝皮数学分析，这套书适合数学分析学透后再看，温故而知新。

zms9439

http://wenda.so.com/q/1447224039722270

旧时光

终于看明白了。

证明中提到：“因α>β，故确定数α的分划的下组A整个包含确定β的分划的下组B，且不与B重合”，这是前文中提到的α>β的定义，
这句话的意思其实就是说，下组A中含有的有理数比下组B中含有的有理数多（否则A不能整个包含B且不与B重合），

所以才有后面的一句话：“因此在A内必有有理数r，它不包含在B内”，r 就是下组A比下组B多出来的有理数。