数学问题求助 之三

旧时光

在菲赫金哥尔茨的《微积分学教程（第1卷）》的绪论中，通过对有理数的分划引入无理数：

如上图，教材中指出“任一3）型的分划定义某一无理数α”。

但问题是：

1. 存在性：为什么这种数就一定存在呢？书上认为只要有理数分划不能确定出有理数时，就硬塞入一个无理数。（当然，如果硬塞入无理数，可以满足逻辑自洽，当然也是可以接受的。但是这样的话，就成为一个人为构造出来的体系了。）

2. 唯一性：为什么一个分划就只能确定出一个无理数呢？为什么就不能是2个或更多的无理数呢？

对于第二个问题，教材后面有一个“相等”的定义：

通过这个定义，倒可以解决唯一性的问题，但是，这个定义是人为约定的，如果这样的话，无理数的唯一性也是人为约定的了？难道其唯一性不应当是有理数分划自然导出的逻辑结果吗？（另外，网上一些答案，通过“两个无理数之间必有有理数”来证明其唯一性，我认为这是循环论证（因为要用“两个无理数之间必有有理数”，必须先定义无理数的“序”，但此时无理数的存在性都没证明，怎么去定义它的大小呢？），是不对的。）

如果实数体系真的是这样“人为约定“出来的，那我是否可以定义出3种体系：

1. 一个有理数的分划不产生无理数。（应该就是有理数了。）

2. 一个有理数的分划产生一个无理数。

3. 一个有理数的分划产生无限多个不相等的无理数。

那这三种体系都可以存在吗？

望大神解惑，不胜感激。

米饭

建议直接看数学分析吧。书里说的非常清楚，就是一个数系的扩充历史。从自然数扩充到整数，再从整数到有理数，最后从有理数到实数。上面的‘人为构造’看不太懂，这个就是人类构造的，因为以前的数系不够完美，从而进行不断的扩充。

历史上由于一个毕达哥拉斯学派的人发现了边长为一的直角三角形斜边不能用有理数表示，从而引发了数学危机。直到德国人给出了严谨的证明，从而解决了持续已久的数学危机。


无理数的确定，数学分析里面的戴德金定理讲的很完美了，解决了无理数的定义问题。总之高等数学的确如面包大侠所说的非常浅，你的这些问题数学分析里都有说明。

旧时光

米饭 发表于 2018-3-7 13:34
建议直接看数学分析吧。书里说的非常清楚，就是一个数系的扩充历史。从自然数扩充到整数，再从整数到有理数 ...

其实我就是想问：“一个有理数的分划可以唯一定义一个实数”中的”唯一”是怎么证明的，翻了很多数学分析的书，都没有找到证明。

我看到的大部分的数学分析教材，都是把实数性质作为公理来处理的，或者是很简单的介绍一下戴德金分割，并没有在细节上作过多的纠缠。所以我一直都有疑问。

Spindoal

去xx数学论坛求助，回复会多一些。

旧时光

Spindoal 发表于 2018-3-7 10:42
去xx数学论坛求助，回复会多一些。

数学论坛上说的都是黑话，太专业，看不懂……

engine

实数的连续性

米饭

我尝试说明一下，看看你是不是这个疑问。
现在对一个实数集合作切割，得到（-∞，2）和[2，∞）两个集合，这就确定了一个实数2；还可以作另一种切割（-∞，2]和（2，∞），这种切割也确定了一个实数2。实数集合只能作一个开区间和一个半开半闭区间的切割。而有理数集合则有第三种类型的切割，比如作（-∞，√2）和（√2，∞）的切割。这时确定的√2是有理数集合以外的数，对这种数称作无理数，所有用有理数集合切割出来的这种数称为无理数集合。

至于你的唯一性的疑问，恕我直言真的看不懂，我上面假设的这些，切割出来的数不是只能唯一，还能有其他的？？

米饭

旧时光 发表于 2018-3-7 14:00
其实我就是想问：“一个有理数的分划可以唯一定义一个实数”中的”唯一”是怎么证明的，翻了很多数学分析 ...

戴德金切割定理就是证明这个的，你把陈的数分的定理证明那个看一遍你就懂了。一般都是看陈的数分，其他教材有没有给出完整的证明我就不知道了

旧时光

米饭 发表于 2018-3-7 14:44
我尝试说明一下，看看你是不是这个疑问。
现在对一个实数集合作切割，得到（-∞，2）和[2，∞）两个集合， ...

首先谢谢你的解答。

正如你所言：“√2是有理数集合以外的数”，请注意，在引入无理数之前，我们只知道有理数的存在和性质，“数”仅仅表示有理数。所以用（-∞，√2）和（√2，∞）来表示一个分割时不恰当的。


怎么引入无理数，以解决方程x^2=2无解（只讨论正根）的问题呢？


按戴德金的分割方法，把“a^2<2的正有理数、数0和一切负数“归入一组，把“a^2>2的一切正有理数”归入另一组，得到一个有理数的分割，可以证明此分划中没有界数，于是引入一个“新数”（即无理数，记为r）来代替。这样，该无理数比“x^2<2的正有理数”大，而比“x^2>2的正有理数”小。请注意，此时我们还不能说这个新数的平方等于2，因为此时这种新数的运算（平方，即乘法）还没有定义。


我的问题是：由有理数的分割引入的界数r为什么只能有1个？能证明吗？


如果在这个分割中存在2个界数r1、r2，它们都比“x^2<2的正有理数”大，比“x^2>2的正有理数”小，有什么问题吗？


不知道我表达清楚了没有？


谢谢。

米饭

旧时光 发表于 2018-3-7 17:04
首先谢谢你的解答。

正如你所言：“√2是有理数集合以外的数”，请注意，在引入无理数之前，我们只知道有 ...

我对数学历史没有进行过探究，所以下面的说法算是我自己对书本的理解和引用。如有错漏之处还望指出。

首先，按书中的话，应该是先有运算法则的。比如最开始只有自然数，但是由于其对减法运算法则不封闭，所以人们才引入负数，将数系扩充到整数。也就是说，运算法则是‘环境’，而数系是在其内部的。但是按大侠的说法，是将数置于运算法则之上，好像每一种数应该有它特有的运算法则，例如2-4是不能等于-2的，因为负数还未定义，它的运算法则也没确定。

接着，如果按照我的理解，按书中说的，有理数对于加减乘除四则运算法则是封闭的，但是对于开方运算不封闭。这里先看开方的运算，比如x∧2＝4，变换为√4＝2，这里√4可以看成是一个数，也可以说是一个运算过程，相当于4÷2。那么我们现在把上面的√2看成是一个运算过程，不要当成是一个数，下面解答下楼主的疑问。

书中的定理证明中，a∧2＝2，还给出了a＞0的条件，那根据开方的运算法则，√2是有±a两个解，根据题目要求＞0，所以必然只有一个解，也就是r1必然＝r2。按我对书上的理解，开方这种运算法则先面世，尔后，发现对于有理数2进行开方√2，得出的数并不是有理数，所以把√2运算后得出的这样的数称之为无理数，为了表达方便，将√2这本来的运算过程当做最终结果表达。

但是如果按照楼主的理解，有理数的开方运算与‘新数’的开方运算是不同的，也就是他们有各自的开方定义，这个我不认同。我的理解是开方定义置于有理数与‘新数’之上。而且无理数其实是真实存在的数，并不是人为杜撰的，也就是说，人们把2的开方得到的这种数，√2，称之为无理数。而不是说先创造一个数叫无理数，然后把√2塞进去。