积分的小困惑

惯性矩

请教各位，下图是用两种方法积分，分别是普通替换和三角替换，我的疑惑是，三角替换时不是需要考虑tanθ的正负吗？

旧时光

当然要考虑。很明显，被积函数的定义域为:t<-1/2或t>1/2。

分别讨论两个区间。

1、当t>1/2，可作代换t=secθ/2，但注意此时0<θ<π/2，于是tgθ>0。其余计算跟楼主一样。
2、当t<-1/2，可作代换t=-x，此时x>1/2。得到dt=-dx，带入被积函数，就会得到跟t>1/2时一样的结果。