数理丛谈---序

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    哥廷根为全球数学之中枢，希尔伯特为当世数学之巨
擘。公谨博士学于哥廷根，为希尔伯特登堂入室之高足，学识广
博而纯粹，每与讨论数理，常有独到之见解，议论精辟，远非
生吞活剥者所能及其万一。近以新著数理丛谈见示，虽字
不足十万，而所言皆各科之本源；理极奥碛，而出之以爽
利之笔，通俗之辞。化难为易，深入显出，非所谓食而能化
者耶？
    数学之难，不难于繁复之演算而难于基本之理法。必
基本之理法眞明，方能执简驭繁，深入无阻，以牛顿、莱布尼茨
(Leibniz)之天才集前贤之大成，创微积之学术，厥功不可
谓不伟，徒以致力于方法之进展，无暇为根深之探索，于希
腊大几何学家所已发之不可通约数论，未加注意，遂致基
础未固。后人沿之，往往谬误之结果发生于著名之方法。及
十八纪末十九纪初高斯(Gauss)，拉格朗日(Lagrange)，柯
西(Cauchy)诸氏起，始力求恢复希腊几何家之严密，致意
于微积基础之批评，读阿贝尔(Abel)致哈斯顿(Harsteen)
二书：“今日流行之解析，其间有无限之黑暗，吾欲尽吾之
力，散播光明于其中，以计画与统系如是之缺乏，而从事其
间者，竟如是其众多，宁非异事？其更大之弊，实为严密之
绝对缺乏。在高等解析中，定理之曾经严密证明者，为数
甚少，无论何处，常见不经证明，即以特例推为公例之恶
习······二项定理，从未经过严密之证明，Taylor展开式
乃微积全体之基础，亦复如是。“ 可见当时欧洲数学之状
态。直至十九纪末魏尔斯特拉斯、康托尔、戴德金三氏之无理数论
完成。所谓近世解析，始有稳固不拔之基础。夫无理数论，常
人视之皆以为区区无足轻重，殊不知其关系，乃如此之巨。
即牛顿、莱布尼茨二氏，亦未尝不知希腊几何学家之早有不
可通约数论，或亦以为如根号2之类已有开方之法，可求至
其任何位之小数，尽可不必深论。一念之差，遂使空前伟业，
留一微隙至三百余年之久，且费十九纪诸大师百年之力，
始能为之补苴。基本理法之重要，有如此者。公谨此书价值
如何，从此可知矣。
    欧美数学名著于基本理法，虽皆论及而文字过于
谨严。吾国学子，读之往往以不易全明，遂不求甚解，躐等而
进，买椟还珠。彼读书未尝不多，演算未尝不熟，而仍见解

半先生

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