【笔记】机械振动_连续系统振动

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可以将实际系统离散化，作为离散系统求解，但是仅能得到有限个位置的响应。为了得到更精确的系统响应，需要用到连续系统模型。例如，将轴看作单自由度系统时，仅能得到轴端的响应；将轴作为连续模型求解时，可以得到轴的各处位置的响应。

离散系统中，可以对每一个自由度进行受力分析，系统的响应也可以表示成每个自由度各自的响应。连续系统中，不存在彼此独立的自由度，有的是微元之间的联系，系统的响应也表现出分布性。

对于轴的扭转而言，描述它的运动状态需要两个维度：沿着轴长扭转角是变化的，有了空间维度；每一处的扭转角也会随时间变化，有了时间维度。位移的空间分布引起内应力，微元体两端内应力的差值就形成了恢复力，使得微元体的振动成为可能；位移的时间变化对应着运动。由力与运动的关系，可以通过对微元体的分析得到轴的扭转运动控制方程，是一个偏微分方程。

自由振动的通解包含两部分：位置函数部分与时间函数部分。位置函数描述了位移在不同位置的分布，时间函数描述了这种位移构型随时间的变化。

边界条件对位置函数形成约束，由约束得到特征方程，即系统自由振动必须满足的条件。特征方程是超越方程，有无限个特征根，对应着无限个固有频率和主振型。每一个振型函数对应着一个主振动，通解就是一系列主振动的和。再利用初始条件求得时间函数中的未知量，就可以得到自由振动的特解。

一般的边界条件通常会使得振型函数满足正交性，由此可以对受迫振动进行化简。

受迫响应是二元函数，与时间和位置有关。在每一个时刻，都对应一个空间位置构形，这个构形可以表示成振型函数的线性组合形式，权系数是不同的常数。当时间变化时，响应的空间位置构形也在变化，对应的权系数也在变化，于是各个权重就成了时间函数的形式。由此，在振型函数的度量下，受迫响应可以表示成一系列的时间函数。将这种表示带入控制方程，再利用各振型函数之间的正交性，可以化简得到一系列关于时间函数的单自由度控制方程。解得时间函数，再代回，就得到受迫响应。

梁的横向振动会复杂一些。轴的扭转振动中，各微元只有一种转动的运动形式。对于细梁模型，也可以只考虑微元的横向平动。对于粗梁模型，还需要考虑到微元的转动效应：由于微元的转动，改变了微元体的受力条件，同时转动效应会引起惯性力，两种因素叠加在一起，会使问题的求解变得很复杂。

（连续模型的尽头应该就是筒子、壳子了吧？现在了解的还很少，大概要到多年之后才能学到了。）


待续

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打铁的

梁的横向振动和系统振动，有什么关系