从通量角度看弹性平衡方程

fengyangzi

年底换部门，等待去新部门中，原部门事情过年前已经交接，上班进入划水时段，连续几天无所事事，便拿着本弹性力学看了起来。弹性力学里面都是从微元体力平衡建立平衡方程，这种方法直观易于理解。再次来看弹力，借鉴学流体的通量、散度概念，也可以用这两个概念来推导出弹性体的平衡方程。
按定义通量是单位时间内通过曲面的量，在流体里取一块隔离出来，通量就是单位时间内流过隔离体曲面的流体质量。记每个微面积上流过的量记为ρvnΔA，ρvn分别为流体密度、速度、速度与微面垂直方向的夹角。通过对整个曲面积分可得到通过整个曲面的流体质量。
散度定义为通量的密度，即隔离体体积趋向无穷小时的通量值。
对于隔离体，其外表面是一封闭曲面，经过该面的量可以用两种办法来计算，一是计算每个微小面上的量再对整个曲面积分，二是计算隔离体内每点散度再对体积积分。两种方法的计算式用等式相连便是高斯公式。

取一块弹性体隔离出来，由力平衡可知，隔离体的面力合力与体积力合力的和等于零。隔离体的面力合力等于表面点应力对整个封闭曲面的积分，利用高斯公式，等于隔离体内应力的散度对整个隔离体体积的积分。
∫σ*n dA = ∫divσ dv
∫divσ dv +∫fdv = 0
∫（divσ  +f）dv=0
σ隔离体的应力，是二阶张量
n为微面的法向方向矢量
div为散度记号
f是单位体积力


因为所取隔离体可大可小，于是有divσ  +f = 0  这便是弹性微元的平衡方程，可在不同的坐标系，将应力张量σ用分量表示
如在笛卡尔坐标系中方程可写成：∂σij/∂xj + fi = 0

与流体不同的是，应力是二阶张量，其散度为矢量；而流体质量场散度是标量

从通量、散度角度可以很容易的讲弹性体平衡方程、流体连续性方程、热传导方程、麦克斯韦方程组前两项都串起来，同一套数学方法在不同物理背景下的应用。

菜哥

不明觉厉，恭祝高升！

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不明觉历 看不懂

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挺好的，慢慢学习，越学越清晰，