凸轮轴振动计算目标兑现之前奏--简单连续结构频率方程推导

从零开始

简单连续结构的频率方程推导和计算表格分享

在复（学）习机械振动中连续体振动过程中，有一个简单结构，一个悬臂梁圆棒，自由端连接一个圆盘，尝试计算其轴向，横向和扭转振动的固有频率。模仿书上的计算过程，编了计算表格，设定参数计算并与solidworks simulation的有限元分析结果对比，结果发现轴向振动和扭转振动的基础频率，以及横向振动的基础频率都能一一对应，但第二，三，四阶横向振动的固有频率结果总有较大差距，琢磨之后发现是边界条件中没有考虑梁摆动时圆盘转动惯量的影响。加上这个边界条件之后再计算，前四阶横向振动固有频率就和有限元结果比较接近了。这个小计算项目做完之后自己对一维连续系统振动，波动方程和梁方程，边界条件，frequency equation和 eigenfunction （shape function）等概念有了基础的掌握。

分享几个文件：
1. 我编写的频率方程推导过程，都是课本上的知识，但是这么详细的推导应该不多见,(求矩阵行列式时用了数学软件)；doc 和 pdf格式都在附件中；
2. 我编写的计算表格和python程序，可以计算这个结构的前四阶轴向，横向和扭转振动的固有频率，还是和我以前做的表格一样，复杂计算交给python（需安装python,scipy和xlwings），界面和简单计算交给excel。

注意：其中频率方程是超越方程，需要数值方法求解，我这里用scipy的root函数来求解，需要设定初始猜测值，有时得不到完整的前四个解，可以尝试更改一下猜测值再算，一般找到解都没问题。

亮点：如果不想折腾安装python，我这个表格里后面几个sheet里还有三个的超越方程的二分法的实现，（最复杂的一个频率方程留给初学者当作练习），你可以用来求频率方程的根，然后再手动填到第一页对应位置，excel自动计算出固有频率。也就是说没有Python它也是个有完整功能的计算表格。

推导过程是英文写，如果有语法用词或数学方面错误请指正。
以下是pdf中的几页预览和excel计算表格的样子。

表格里有两个错误， 一是 最左下角的单元格里的描述，应该是不考虑梁内部的剪切变形和转动惯量的作用，考虑边界质块转动惯量Jz，本意是说当作欧拉伯努利梁来考虑； 二是 转动惯量Jz ，其对应的轴是z轴 （x是圆棒轴线，y垂直向上，z穿过末端圆盘形心垂直纸面向外） 请大家自己修改，以免造成误解，见谅。

幸会幸会

厉害厉害，粗看方程，侃两句，
左边固支，右边自由，轴向是纵波方程，扭向是横波自由振动，竖向用等截面梁的经典弯曲振动方程，左边位移和转角为零，右边开始的假设力矩为零，剪切是质点竖向惯性力，后来将力矩修正，考虑圆盘竖向位移转角的惯性效应，
细节不侃了，虚啊，哈哈

从零开始

不久将还有篇帖子分享机械振动基础计算表格和粗浅心得，然后就开始兑现计算目标，敬请期待。

菜哥

比我厉害多了。

我发现，从去年下半年开始，这个论坛，列方程的家伙越来越多了。

dxx347

太牛了，这才叫工程师

从零开始

各位 表格里有两个错误，
一是 最左下角的单元格里的描述，应该是不考虑梁内部的剪切变形和转动惯量的作用考,虑边界质块转动惯量Jz，本意是说当作欧拉伯努利梁来考虑；
二是 转动惯量Jz ，其对应的轴是z轴 （x是圆棒轴线，y垂直向上，z穿过末端圆盘形心垂直纸面向外）
请大家自己修改，以免造成误解，见谅。

凸轮小胖

厉害啊，蓝皮书讲的很少，凸轮就第三章很小的一段，计划最早五月份开始看凸轮圣经，之前要先读点数学，再做点动力学的题，到楼主的程度还有老远一段路要走。

wf2725864

不错 很好 楼主厉害了

charmengineers

推荐一下Mathcad，做复杂点的计算，对我来说很难徒手进行，Mathcad提供最基础的函数，至于计算过程计算方法还是要自己编写，最大程度的保留了思考过程。虽然还是按钮，但是比纯按钮还是强一些，对于学习还是挺有帮助的，当然也有一些缺点，比如不能输出可执行文件，可视化效果不行，但是写计算书感觉还不错

从零开始

charmengineers 发表于 2021-3-25 10:14
推荐一下Mathcad，做复杂点的计算，对我来说很难徒手进行，Mathcad提供最基础的函数，至于计算过程计算方法 ...

mathcad用习惯了是挺好的，就是我不太习惯它的编程功能，类似伪代码好读好懂，就是太占版面（比如写个矩阵）。
还有数值计算方面、重复利用性可能会差一点。