前奏四（续）对称伸出端简支梁固有频率计算，为什么'行'

从零开始

对于上一贴，有位社友说“不行”，也没解释为啥不行，我想解释下为啥我写的那个文档是“行”的。我那个文档分三部分，估算，简化，理论计算。
1.第一部分估算，关于估算，基本所有的固有频率的估算都基于对振型的预测，不管是离散系统还是连续系统，振型预测的越准确，估算就越准确。如何准确判断振型？个人观点在于工程师的洞察力，洞察力有来源于理论基础和实际经验。
此贴主题的情况下，实际振型函数是三角函数与双曲正弦余弦的组合，而简支梁振型函数就是简单的三角函数，简单的变化之后（加伸出端），计算就变得相当复杂。想用简单函数预测振型，伸出端长短不一时，自然要用不同的函数，只为形状要越接近越好。
对于连续系统，瑞利法是用一个猜想振型函数预测一个固有频率，通常是基频；瑞利-里兹法是用多个猜想振型的组合预测前几阶固有频率，原理是找到特定的系数组合得到omega方函数(亦即瑞利商)的驻点。
2.简化法，无需多言，适用于伸出端短的时候，上帖已说明。
3.通过频率方程的“准确”计算，“准确”打上引号，是因为我这里使用的偏微分方程基于欧拉伯努利梁的假设，但对于前几阶的固有频率计算，个人认为准确度是够高的。
为了验证我这个方法能“行”，而非“不行”，我选定圆轴材料，直径，选定中间段长度，变化伸出端长度，计算前四阶固有频率，比较理论计算与有限元仿真结果的差异。
以下是我通过频率方程法（借助Mathematica软件的强大的符号计算和数值计算能力）和SolidWorks/simulation 得到的结果对比，结果数据老老实实抄下来，没有任何修改。我认为基本可以确定这个方法是“行”，绝大部分结果差异都在5%以内，伸出端稍长时，前三阶的结果甚至都在1%以内。我觉得我敢放心的用我写的小程序。



再次分享几个文件
1.此例瑞利里兹法的mathematica实现；
2.此例频率方程法的mathematica实现；
3.此例work文档和pdf文档。
4.计算结果对比表格。

至于Excel/Python式的表格，暂时没有时间做，我觉得用sympy和numpy实现应该是可以的，留到以后了。

从零开始

此贴只是想说方法可行，仍欢迎给出意见。对于瑞利里兹法，我没有完全理解，但是依葫芦画瓢还是可以的。
下面是我淘的一本二手书，我就是照抄书上的计算过程。我没有找到电子书，也许大家可以。
Mechanical Vibrations -Theory and Applications second Edition - Francis S. Tse,  Ivan E, Morse, Rolland T. Hinkle.

hilldong

只有部分电子档书。