半无限大物体的温度分布的推导（第一类边界条件）

浦原喜助

把图重新挂了一遍，字节数没那么大了，可以合并在一块。

首先定义下什么是半无限大物体：当与物体大小相比，瞬态导热现象的时间短，温度随时间的变化没有波及物体全体时，可以视为半无限大物体。

开始这个问题前我们先回顾下物体三维的导热方程：

Eq-1

其中ρ为物体密度（kg/m^3），c为物体比热[J/(kg*K)]，k为导热系数[W/(m*K)]， 最后一项qv为物体内部的发热量（W/m^3）。如果k为常数，则导热方程变为：

Eq-2

α=k/(ρc), (m^2/s), 称为热扩散率。

现在回头来看半无限大物体的导热方程，假定物体无内热源，导热系数k为常数，且物体初始温度Ti均匀分布，物体一维导热方程和初始条件分别表示如下：
        导热方程：

Eq-3   

        初始条件：

Eq-4

对于第一类边界条件，如下图所示，即边界面（x=0）上温度与时间无关。

Fig-1

同时考虑到半无限大物体的一维非稳态导热，其内部（x>0）的温度没有很快因为表面温度而变化；所以此时的物体的边界条件为：

t>0, x=0: T=T0        Eq-5

       t>0, x->∞: T=Ti       Eq-6      

设:

Eq-7

则以上的导热方程(Eq-3)，初始条件和边界条件(Eq-5,Eq-6)改写为：

Eq-8

这里要介绍的是如何用拉普拉斯变换来推导物体的温度分布。


首先根据拉普拉斯变换的定义，温度分布函数的拉普拉斯变换如下：

Eq-9

对改写后的导热方程（Eq-8）左右两边进行拉普拉斯变换：

Eq-10

左边变成（考虑初始条件t=0, θ=0）：

Eq-11

右边变成：

Eq-12

所以导热方程改写为：

Eq-13

这是一个二阶常微分方程，先改写成下面的形式：

Eq-14

熟练的话可以直接设Θ=C*e^(rx)，代入上式解得

Eq-15

或者根据微分方程的特征方程，仍然假设Θ=C*e^(rx)，代入Eq-14，得到特征方程：r^2+pr+q=0。其中根据Eq-14可知：p=0，q=-s/α，所以代入特征方程解得与Eq-15一致的结果，不再展开。


所以，Eq-14的通解是：

Eq-16

根据边界条件Eq-8，当x=0时，θ=1，则

Eq-17

将Eq-17代入Eq-16，得C1+C2=1/s     
当x->∞时，θ=0，则根据拉普拉斯变换可得
Θ=0，代入Eq-16得：C1*e^(∞)=0，则可知C1=0，代入C1+C2=1/s，可得C2=1/s，于是Eq-16的解为：

Eq-18

到这一步，我们需要将Eq-18转到时间域。首先，先观察这个式子，然后我们需要从拉普拉斯变换表上找到形如Eq-18的逆变换，然后通过替换系数把Eq-18的时间域的解求出来。

下面的链接中能够找到形如Eq-18的拉普拉斯逆变换：
https://www.et.byu.edu/~vps/ME505/TABLES-PDF/11.pdf
为防止多年以后这个链接失效，我顺便把图贴上来：

由Eq-18和上表中的拉普拉斯逆变换公式可知：

即最终解为：

后面会开一个帖子推导下上表中划红线部分的拉普拉斯是怎么来的，公式输入比较麻烦，要隔几天po上来。