国内教科书上对微分的讲解都不明不白

寂静回声

微分符号 dx、dy 是莱布尼茨在 1670 年代发明的。按他当时的想法，dx 是一个无穷小量，比任何正实数都小，但又不是零，能参与四则运算，能做分母，算到最后还能直接丢掉。这套符号用起来特别顺手，dy/dx 真可以当成两个数相除，链式法则就是分子分母约分，换元积分就是把符号换掉。三百多年下来，没有哪种新记号能替代它。
但 dx 到底是个什么数，根本说不清楚。实数里找不到一个比所有正实数都小、又不等于零的东西，所以这套符号虽然好用，在逻辑上却是漏的。牛顿和莱布尼茨之后，欧拉、伯努利这些人拿着无穷小继续算，在天体力学、流体力学、变分法这些领域算出了一大堆正确结果，微积分用到物理上处处好使，可底下这个漏洞一直没人补上。1734 年，贝克莱主教写了本小册子叫《分析学家》，专门揪这一点。他说，推导开头那个无穷小 o 不能是零，不然没法当除数，可到了结尾又得把它当零，不然结果不对。同一个量在同一段论证里一会儿非零一会儿是零，这本身就说不通。
他还挖苦说，这些被丢掉的量既不是有限量，也不是无穷小，又不是什么都没有，干脆叫它们消逝量的鬼魂算了。贝克莱这么讲，其实是想替神学辩护，意思是你们数学家的根基也不严密，没资格嘲笑三位一体。不过他挑的这个逻辑毛病确实挑对了，整个 18 世纪没人答得上来，大家照样用，因为算出来的结果管用。

后来到了 19 世纪，数学家花了一百多年把基础重新做了一遍。柯西和魏尔斯特拉斯搞出 ε-δ 这套说法来定义极限，不再讲 dx 趋于零，而是说对任意 ε 大于 0，都能找到一个 δ 大于 0，使得怎么怎么样。这套语言里压根没有无穷小，只有有限的数和它们之间的量化关系。导数被重新定义成差商的极限，dy/dx 只是一个整体记号，不再是两个数真的相除，贝克莱说的那个鬼魂就算被赶走了。
可这么一来，原来的直觉也跟着没了。莱布尼茨那个 dx 虽然逻辑上讲不清，但那种小到可以忽略、又能拿来运算的感觉很直观，换成 ε-δ 之后全没了，只剩下一套抽象的逻辑推演。

现在的教材就卡在这。它得在一学期里把大一学生教会，于是干了件很拧巴的事。符号还是 17 世纪那套，dx、dy 一个不少，因为没有更好用的；讲的时候靠 18 世纪的直觉，说 dx 是无穷小的改变量、dy 大约等于 f'(x) dx，因为这样学生容易上手；可写到定义那一节，又得用 19 世纪的 ε-δ 极限，因为只有这套在逻辑上说得通。三样东西混在一块，书里几乎不告诉你它什么时候换了说法。

到这里你就能看出今天教材的处境了。它要在一学期里教会大一学生微积分，于是它做了一件极其拧巴的事，用着 17 世纪的符号，dx、dy 一个不少，因为没有更好的；讲着 18 世纪的直觉，“dx 是一个无穷小的改变量”、“dy 大约等于 f'(x) dx”，因为这样最容易上手；写着 19 世纪的定义，导数定义那一节用的是 ε-δ 极限，因为这才是逻辑基础。三套东西混在一起，而书几乎从不告诉你它在切换。

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那国外呢？

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我印象中，当时学极限，无限趋近于但不是，但运算就直接拿趋近的那个数去算，我就理解不了

当居

国内教材齿轮的渐开线也是说不明白。

干货专用号

我都没办法分辨教材说明白了没有，现阶段会算就行。