数学疑惑（一）

惯性矩 · 发表于 2017-12-15 10:11:03

如下图，解线性一阶微分方程中，其中有一处困惑，这个积分因子v(x)必须是正值吗？
如果是，根据推导公式，看不出哪里不可以为负值；
如果不是，是由于计算简单考虑还是其他？请教各位大侠

拉普拉斯妖 · 发表于 2017-12-15 10:16:34

对数函数的定义域

惯性矩 · 发表于 2017-12-15 10:33:32

拉普拉斯妖发表于 2017-12-15 10:16
对数函数的定义域

大侠，我是这样理解的。首先v(x)已经在推到前假设为正值，所以才有了后面的推导。如果v(x)为负值，那么dv/v，积分就应该为ln|v|，也就是ln(-v),求幂，然后可以得v=-e^(∫pdx)

拉普拉斯妖 · 发表于 2017-12-15 11:00:58

也可以这样理解，对v(x)没有要求一定为正。

liman? · 发表于 2017-12-15 12:34:18

为利用（3）式求y(x)，仅要求v(x)没有0值。（3）式中有两个v(x),其正负号不影响y(x)的值。假如影响了，就会有两个积分因子、两种解。使v(x)为正，是方便其公式记忆。

yinalan · 发表于 2017-12-15 12:42:12

大侠，这个你看最后函数v其实是一个指数，只是指数幂是个函数的积分，不可能为负的，其实是分步积分的逆运算，直接就可以把v，写出来

正是那年 · 发表于 2017-12-15 14:02:41

这个问题的最终目的是求出函数y, 而函数v即使为负，最终在在函数y中，负负得正而抵消了，只是为了写的时候方便一些才强调是正的，其实从数学角度积分因子为负也是可以的

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