平面几何学习之----三角形的各种“心”

focus · 发表于 2023-11-27 21:09:05

本帖最后由 focus 于 2023-11-27 21:10 编辑

关于和谐共轭点的定义与构造
@所谓的和谐共轭点(harmonic conjugate)，就是分一条线段从内部分和从外部分以同等比例的两点。例如，AB是一条线段，C点在AB内部，D点在AB外部，且A，B，C，D共线，如果AC：CB=AD：DB，则C点和D点互相称为对方的关于A点和B点的和谐共轭点
@下面是来自于仿射几何的一种构造

focus · 发表于 2023-11-27 21:42:23

本帖最后由 focus 于 2023-11-27 21:44 编辑

关于克劳森点(Clawson center)的另外一种构造
@依然用到了三个外切圆
@不同于上个构造的用了垂足三角形，这次用了外接圆

focus · 发表于 2023-11-30 20:03:26

X(31)-二次点(2nd power point)
@二次点的三线坐标(trilinear coordinates)是a^2:b^2:c^2，这个应该就是名称的由来了，都是二次方
@构造二次点，可以先构造内心的等截共轭点，再构造这个点的等角共轭点。

focus · 发表于 2023-11-30 20:20:02

本帖最后由 focus 于 2023-12-1 06:57 编辑

关于等截共轭点(isotomic conjugate)

focus · 发表于 2023-12-2 10:54:48

X(32)-三次点(3rd power point)
  @三次点的三线坐标是a^3:b^3:c^3，这是名称由来
  @三次点是X(39)关于布洛卡圆(Brocard circle)的反演点(inversion)
@X(39)是第一，第二布洛卡点的中点

focus · 发表于 2023-12-2 11:00:25

本帖最后由 focus 于 2023-12-2 11:04 编辑

关于第一，第二布洛卡点
@使得PAB=PBC=PCA的P点，称为第一布洛卡点(1st Brocard point)
  @类似可以构造另一个点Q，使得QBA=QAC=QCB，称为第二布洛卡点(2nd Brocard point)
  @这两个特殊的角度相等，记为w，称为布洛卡角

focus · 发表于 2023-12-2 11:40:19

X(33)-垂心的垂足三角形与内切线三角形的透视点(perspector of the orthic and intangents triangles)
@所谓的内切线三角形，就是三条内切线两两相交，三个交点构成的三角形
@所谓的内切线(intangents)，就是内切圆与外切圆的四条切线中不是原三角形的三边的那条切线

focus · 发表于 2023-12-2 11:59:06

关于内切线(intangents)

focus · 发表于 2023-12-2 14:28:58

X(34)-X(33)的关于内心X(1)和垂心X(4)的和谐共轭点
  @X(33)=1+secA : 1+secB : 1+secC
  @X(34)=1-secA : 1-secB : 1-secC
  @X(1)=1 : 1 : 1
  @X(4)=secA : secB : secC

focus · 发表于 2023-12-2 14:54:35

X(36)-内心关于外接圆的反演点(inverse-in-circumcircle of incenter)
@三线坐标：1-2cosA : 1-2cosB : 1-2cosC

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